Audit Comey dan McCabe: Seberapa besar kemungkinan itu suatu kebetulan?

Waktu New York Dilaporkan Bahwa Internal Revenue Service memberikan salah satu jenis audit yang paling ketat kepada James B. Comey, mantan direktur FBI, dan mantan wakil direktur Andrew G.

Ini telah menimbulkan banyak pertanyaan yang sangat masuk akal, yang sebagian besar bervariasi: Apa kemungkinannya? Seperti yang ditunjukkan artikel itu, peluang dua musuh politik tingkat tinggi Presiden Donald J. Trump meninjau secara kebetulan sangat tipis.

Tapi sangat kecil bukan nol.

Jika kita percaya bahwa ini adalah suatu kebetulan, seberapa besar kemungkinan kita dapat mengatakannya? Di sini, kami mencoba memperkirakan kemungkinan ini seserius mungkin.

Pertama, fakta: Kedua orang tersebut dipilih untuk audit di bawah Program Riset Nasional (NRP), sebagian kecil dari semua audit yang dilakukan IRS setiap tahun. Audit ini memeriksa sampel pengembalian untuk mengumpulkan data tentang kepatuhan pajak.

Menurut IRS, ada sekitar 5.000 audit semacam itu pada tahun 2017, 4.000 pada tahun 2018, dan 8.000 pada tahun 2019 — dipilih dari sekitar 154 juta pengembalian pajak individu setiap tahun. Audit Mr. Comey atas pengembalian pajak 2017-nya adalah; McCabe kembali untuk 2019.

Banyak aspek NRP memperumit perhitungan kami, termasuk metodologi pengambilan sampel auditor IRS dan tahun audit yang berbeda itu sendiri. Kami akan kembali ke masalah ini nanti. Untuk saat ini, kami akan mengasumsikan bahwa semua wajib pajak memiliki kesempatan yang sama untuk diaudit dan keduanya diaudit pada tahun 2017.

Jika masalah ini muncul di buku teks tentang kemungkinan, Anda mungkin membaca sebagai berikut:

Jika ada 154 juta kelereng (perkiraan jumlah pengembalian pajak yang diajukan setiap tahun) dalam guci raksasa, dan beberapa berwarna merah (yang mewakili Mr. Comey dan Mr. McCabe di antaranya), berapa peluang Anda? Apakah Anda akan menggambar dua atau lebih bola merah jika Anda secara acak mengambil beberapa ribu dari toples (jumlah revisi pada tahun itu)?

Ini mungkin terdengar rumit, tapi itu Masalah yang relatif dipikirkan dengan baik, yang merupakan sesuatu yang mungkin ditemui banyak jurusan matematika atau statistik dalam tugas kuliah. Orang-orang telah menurunkan persamaan untuk memperkirakan probabilitas ini, dengan nama seperti distribusi hipergeometrikyang memiliki aplikasi seperti audit pemilu dan penghitungan kartu.

Kita cukup memasukkan perkiraan jumlah bola, jumlah bola merah dan jumlah undian, dan kita akan mendapatkan probabilitas. Jika kita berpikir bahwa hanya ada dua bola merah – yaitu, jika kita membatasi latihan menjadi Hanya Mr McCabe dan Mr Comey – Persamaan ini menghasilkan probabilitas 1 dalam 950 juta.

Ini adalah peluang yang jauh lebih besar daripada peluang Anda untuk memenangkan permainan Powerball. Ini juga merupakan hasil yang hampir tidak berarti. Paling-paling, ini adalah jawaban yang benar untuk pertanyaan yang salah.

Untuk memahami mengapa membutuhkan pengakuan absurditas yang melekat dari latihan kita: untuk memperkirakan kemungkinan terbaik dari suatu peristiwa yang tidak mungkin, kita harus mengesampingkan fakta bahwa kita sudah tahu itu terjadi. (Kemungkinan ini terjadi adalah 100%).

Jordan Ellenbergprofesor di University of Wisconsin yang telah menulis buku tentang matematika dan pemikiran, menggambarkannya sebagai berikut: “Di dunia yang tidak nyata, berapa probabilitas hal ini terjadi, yang telah terjadi di alam semesta kita?”

Ini mungkin terdengar aneh, tetapi masalah yang sama muncul bahkan dalam latihan probabilitas dasar seperti melempar koin.

Jika Anda melempar koin 20 kali berturut-turut, urutan kepala dan ekor yang spesifik sangat jarang, sekitar satu dalam sejuta, tetapi itu memang terjadi. Dan beberapa Urutan fluktuasi akan selalu terjadi. Ini hanya kebetulan yang mengejutkan jika ini adalah urutan yang Anda pilih sebelum membalik.

Dengan cara yang sama, adalah suatu kesalahan untuk mempersempit pencarian menjadi hanya Mr. Comey dan Mr. McCabe, karena kemungkinan besar kita akan memeriksa kemungkinan ini jika kita tahu bahwa dua kalau tidak Musuh-musuh politik penting dari pemerintahan yang diteliti bukannya dua orang ini.

Pertanyaan yang lebih baik adalah: Berapa probabilitas bahwa ada dua orang atau lebih? Seperti Mr Comey dan Mr McCabe, apakah mereka akan diperiksa selama periode ini?

Haruskah kelompok orang ini menyertakan dua pejabat senior FBI? Siapa dua pejabat senior di Kementerian Kehakiman? Pembingkaian inilah—keputusan subjektif dan bukan keputusan faktual—yang sering mendorong estimasi probabilitas apa pun, lebih dari pilihan distribusi statistik atau bobot pengambilan sampel apa pun.

Di bawah ini adalah grafik probabilitas bahwa persamaan kami menghasilkan pilihan yang berbeda untuk jumlah bola merah, mulai dari dua (Mr. Comey, Mr. McCabe dan tidak ada orang lain) hingga 400 (perkiraan konservatif jumlah orang Amerika Mr. Trump dihina namanya di twitter sejak awal pencalonannya sebagai presiden).

Probabilitas meningkat secara eksponensial dengan pilihan siapa yang harus dianggap sebagai kelereng merah bersama Mr. Comey dan Mr. McCabe.

Intinya bukan untuk memutuskan jumlah tetapi untuk menyadari bahwa pilihan ukuran kelompok kitalah yang mendorong kita ke jawabannya. Meskipun beberapa tebakan pasti lebih baik daripada yang lain, banyak opsi yang dapat dipertahankan.

pemrosesan detail

Sekarang mari kita coba untuk mempersempitnya menjadi sesuatu yang sedikit lebih realistis, dan kembali ke beberapa hal yang telah kita abaikan dalam penjelasan sederhana kita tentang masalah ini.

Pertama, kedua orang itu tidak diaudit untuk tahun yang sama. Dengan memperluas cakupan kami untuk mencakup periode tiga tahun dari 2017 hingga 2019, peluang yang kami hasilkan meningkat secara eksponensial. Ini mudah: jika seseorang memiliki kesempatan tertentu untuk merevisi pada tahun tertentu, maka lebih banyak tahun berarti lebih banyak kesempatan untuk merevisi.

Kedua, kami hanya tertarik pada kemungkinan memilih setidaknya dua orang. Kami tidak akan mempertimbangkan probabilitas bahwa orang yang sama akan dipilih dua kali; Tampaknya tidak mungkin mengingat bahwa audit dapat berlangsung lebih dari satu tahun, menurut akun Mr Comey. Perhatikan bahwa kita sedang melihat kemungkinan untuk memilih setidaknya dua orang, tidak secara khusus dua, karena juga penting jika tiga orang atau lebih dipilih dari sebuah grup.

Akhirnya, IRS tidak benar-benar memilih orang secara acak. Sebaliknya, lembaga cenderung memilih beberapa jenis wajib pajak, termasuk orang berpenghasilan tinggi, lebih dari yang lain. Untuk tahun pajak 2001, disertakan formulir NRP hasil orang-orang di sekitar persentil ke-90 pendapatan sekitar 1,7 kali tingkat yang diharapkan, karena pengembalian dipilih secara independen dari pendapatan. Angka ini naik melalui peringkat dengan pendapatan tertinggi, dengan orang-orang dengan pendapatan di 0,5 persen teratas kemungkinan akan menjadi sampel sepuluh kali lebih banyak daripada mereka yang paling dekat dengan pendapatan rata-rata.

Kita mungkin dapat berasumsi bahwa setiap kelompok musuh Mr. Trump akan mendapatkan lebih dari sekadar sampel acak orang Amerika. Tetapi kami tidak dapat secara realistis memperkirakan pendapatan penuh setiap orang dalam kelompok kami setiap tahun. Kita juga tahu bahwa IRS telah mempertimbangkan faktor lain dalam pengambilan sampel, seperti: Jenis pembayaran File wajib pajak ini, dan metode pengambilan sampel itu dapat berubah dari tahun ke tahun. Ini memberi kita sedikit panduan tentang cara mencocokkan metode IRS. Dengan demikian, kami akan membiarkan perkiraan kami tidak tertimbang berdasarkan pendapatan. Sebagai latihan di bagian belakang amplop, jika Anda khawatir tentang bagaimana pendapatan akan memengaruhi hasil ini, Anda dapat mengalikan probabilitas yang dihasilkan jika menurut Anda anggota grup memiliki penghasilan yang sangat tinggi, dan mengalikannya dengan 10 jika menurut Anda mereka luar biasa. kaya.

Satukan semuanya

Menggabungkan opsi-opsi ini, tabel di bawah ini memberikan beberapa perkiraan kemungkinan tergantung pada ukuran grup yang dipertimbangkan.

Atau, jika opsi kami tidak memuaskan, kami telah membuat kalkulator sederhana untuk Anda membuat peluang Anda sendiri:

Jadi apa perkiraan yang “benar”?

Output paling realistis dari persamaan ini dapat secara akurat digambarkan sebagai “sangat jarang” atau bahkan “sangat jarang”, namun tidak ada bukti kesalahan.

“Ini seperti kekuatan yang tak tertahankan dan hal yang tak tergoyahkan,” katanya. Andrew Gilman, seorang profesor statistik dan ilmu politik di Universitas Columbia, ketika diberitahu secara abstrak tentang latihan ini. “Di satu sisi, Anda mengatakan itu benar-benar acak. Di sisi lain, Anda curiga tidak.”

Gilman, seperti ahli statistik lain yang berbicara dengan Times tentang masalah ini, mengatakan bahwa rintangan terbesar bukanlah detail apa pun, tetapi mendefinisikan pertanyaan itu sendiri.

Ketika kita mencoba menghitung peluang suatu kejadian tertentu Karena Kami menduga itu mungkin tidak acak, kami berakhir dalam situasi rumit mencoba membayangkan bagaimana kami akan memprediksi probabilitas acara Sebelum Dia mengatakan apa yang terjadi David Spiegelhalter. Dia memimpin Pusat Komunikasi tentang Risiko dan Bukti Winton di Universitas Cambridge, sebuah organisasi yang didedikasikan untuk meningkatkan cara bukti kuantitatif digunakan di masyarakat.

Matematika itu mudah, katanya, tetapi kata-kata pertanyaannya sulit, mendekati “omong kosong”, karena sebagian besar kesulitan menentukan kelompok mana yang kita minati.

“Apa kemungkinan itu terjadi?” Itu adalah pernyataan yang mudah dibuat.” “Itu adalah pernyataan yang biasa dibuat. Tetapi, pada kenyataannya, sangat sulit untuk menjawab pertanyaan ini. ”

Matematika memiliki batasnya. Inti dari mencoba memperkirakan probabilitas seperti ini, kata Gilman, bukanlah untuk menempatkan banyak stok dalam angka, tetapi membiarkan hasilnya mendorong Anda untuk belajar lebih banyak.

Dalam hal ini, pertanyaan terbaik bukanlah jawaban yang dapat Anda cari di buku teks statistik.

Sebaliknya, kata Mr. Gilman, pertanyaan yang harus diajukan adalah: “Apa yang terjadi?”

Matthew Collin Berkontribusi dalam penyusunan laporan.